萬物皆數。—— 畢達哥拉斯（Pythagoras，約公元前580年 -約前500年）
數學思維·數字技術·數字經濟
——我們正在進入需要數學語言和數學思維才能認知經濟與生活的時代[1]
作者：朱嘉明丨數字資產研究院學術與技術委員會主席
謝謝段永朝和各位線上聽眾。今天星期日，大家這樣早的時間參加線上討論會，令人感動。我今天講的題目是《數學思維、數字技術和數字經濟》，而原本計劃講的題目是《生命價值、經濟價值與社會價值》。這兩個題目的差別是很大的，今天題目更偏重於技術，原來的題目更偏重於人文。
在我正式進入主題之前，我對於今天總題目的“後疫情時代”的“後”字，提出我的看法。剛才段永朝在開場的時候也提到，“後”字常常使人們聯想到“後冷戰時代”、“後全球化時代”、“後人類時代”。我認為，現在討論“後疫情時代”為時過早，因為判斷現在的疫情結束的時間是相當困難的。所以，我這裡提出“長疫情時代”概念。當然，究竟多長很難說，但是，人們可以相對容易根據不同指標，形成諸如第一、第二、第三階段的共識。例如，如果定義疫情從爆發到大規模傳播階段是“第一階段”，現在從世界範圍內看，這一階段大體已經過去。在過去的三、四個月中，在世界範圍內，人們對疫情經歷了從極端關注，到比較關注，再到趨向麻木的過程。這說明，人們正在逐漸開始於接受與“新冠病毒”長期共存的“長疫情時代”。當然，究竟“後”更準確，還是“長”更準確？還是要看事實。
在過去幾個月，世界並沒有停止運轉。其中，有三件事情對歷史影響深遠，也與我今天所講有直接關係：其一，3月份，以美國為代表的多國股市頻繁熔斷；4月21號國際原油期貨價格出現負數。其二，中國央行數字貨幣（DCEP）開始進行試驗，Libra也提出了2.0文字。其三，幾天前馬斯克的SpaceX又發射了420顆衛星，並提出挑戰5G的不是6G，而是他所代表的技術思路。
這說明，即使在“疫情”長期存在的情況下，現代社會還要維持執行，不僅要回歸常態，而且需要發展、轉型與進步。我們需要廣闊視野與歷史感。正是在這樣的歷史前提下，我今天選擇講“數學思維、數字技術和數字經濟”，並探討這三者之間的關係。
1.數學概念和數學思維
自“疫情”開始以來，一系列數學概念以前所未有的速度從各個方面湧入到疫情和經濟生活之中，並且潛移默化地改變著人們的話語體系和思維方式。這些數學概念包括：
1.1.主要數學概念
1.1.1. 指數（Mathematical index）。
（1）“指數”和新冠病毒疫情。描述和理解新冠病毒疫情的嚴重性和傳播速度，需要透過“指數函式”概念。[2] 3月份以來新冠病毒在全球擴散，證明新冠病毒具有指數效應。當然，指數函式不過是描述諸如此次疫情的相對簡單數學工具之一，一般的傳染病數學模型還要涉及到至少常微分方程，偏微分方程和差分方程等高等數學工具。
按照國家分佈的各國確診病例
來源：歐洲疾控中心 製表：Our World in Data
按照大洲分佈的各大洲確診病例
來源：歐洲疾控中心 製表：Our World in Data
（2）“指數”和資本市場。在3月9日、11日、16日和18日，美國股市發生四次“熔斷”。所謂“熔斷”是指基於道瓊斯指數、標普500指數和納斯達克指數的股票價格指數跌幅超過7%，股市暫停交易。所以，只有認識美國股市指數結構，才能從專業層次理解美國股市的“熔斷”現象。
1.1.2. 0（Zero）。
在數學發展史中，0具有里程碑的意義，是含義豐富的數
學概念。近年來，特別是疫情期間，0成為了被普遍使用的數學概念：0邊際成本、0利率、0增長、人口0增長、新冠疫情感染0增長，不一而足。經濟學家沒有能力跟隨和詮釋0現象。
1.1.3. 負數（Negative）。
現在，負數概念正在顛覆人們的經濟常識。
（1）GDP呈現“負增長”。（2）負利率常態化。負利率即存款利率為負值。2016年1月，日本央行宣佈將採取- 0.1%的利率，成為亞洲首個實施負利率的國家。實行負利率的還有歐共體國家。歐洲央行自2019年8月起，將隔夜存款利率從-0.4%調為-0.5%。（3）4月21日，WTI 5月原油期貨每桶結算價跌落55.90美元，跌幅305.97%，收報-37.63美元/桶，歷史上首次收於負值。這意味著，將油運送倒煉油廠或儲存的成本，已經超過了石油本身的價值。歷史上，戰爭不僅會使經濟活動停止，而且對財富加以破壞，導致經濟存量和流量出現負數現象，現在，在和平時代也可能發生同樣的情景。
1.1.4. 極限（Mathematical limit）。
在現實經濟中，存在兩個“極限”，一個是首先由羅馬俱樂部提出的“增長的極限”；另一個是現在這個世界所能承受的災難極限。對於後者，研究不夠。馬克思曾經說過，“任何一個民族，如果停止勞動，不用說一年，就是幾個星期，也要死亡。”此次疫情證明，不論發達國家，還是新興市場國家，其經濟承受能力遠遠超過人們的預期和判斷。現在有一種人類進入“存量經濟主導時代”的說法，存量與承受力有關聯性，屬於可以計算出來的數學問題。
1.1.5. 概率（Probability）和數理統計（Mathematic statistics）。
理解此次疫情，涉及以概率論為理論基礎，對受隨機因素影響的不確定性現象進行觀測、試驗、獲取樣本、提取資訊，最終形成包括引數、分佈、相關性的數理統計模型。2005年諾貝爾經濟學獎獲得者謝林（Thomas Schelling），透過研究冷戰時期對前蘇聯進行核轟炸模型中美國飛行員的生命價值，提出“統計學意義上的生命價值”，因此獲得諾貝爾經濟學獎。當下疫情時期的“群體免疫”背後其實是統計學原理（the Value of Statistical Life）。至於美國股市的熔斷,為什麼以7%作為極限，源於概率論。在概率論中解釋隨機過程的 “鞅”（Martingale theory）的概念和方法，對於認知金融衍生產品（Financial derivative）很有價值。
1.1.6. 納什均衡（Nash equilibrium）。
因為疫情和經濟的急劇變幻，導致世界不同利益集團的博弈，於是產生了對納什均衡的重新理解。而納什均衡，或者博弈理論背後的數學基礎是“概率分佈”，是對基數的理解。
1.1.7. 複數（Complex number）。
討論和理解實體經濟、物理形態經濟和觀念經濟、資訊經濟和數字經濟的平行關係，需要引用“複數”概念。前者可以被理解為“實數”，後者可以被理解為“虛數”。約十年之前，林左鳴先生團隊研究虛擬經濟的努力和在學術上的成果，值得肯定。他們團隊中有一位宋可為先生，於 2009年發表了一篇文章《虛數對廣義虛擬經濟理論研究的啟示》，系統探討了複數和虛擬經濟的對應關係，並且提出廣義虛擬經濟價值公式。[3] 這篇文章至今仍具有啟發性。
1.1.8. 集論（Set theory）。
當代世界高度複雜和高度不確定性，所有的複雜和不確定現象，都可以理解為“一個或多個確定的元素所構成的整體”，或者可以對所有的變化理解為處於“集合”狀態“元素”作用的結果。特別是，現實生活中，正在出現更多的“模糊集”，因為其中的“元素”很可能處於不清晰狀態。疫情作為一個“集合”的概念，其中包括了太多尚不清楚的“元素”，必然影響整體判斷。經濟、政治和社會情況也是如此。這一切證明了數學的 “集論”正在顯然出前所未有的影響力。
1.2.數學思維
前面所羅列的大部分數學概念，並不艱深，屬於初等數學範疇。但是，也觸及到某些高等數學概念，例如，數學分析、概率統計等等。唯有透過這些數學概念、數學語言，方可以形成數學思維，進而對現在的經濟現象做出描述和分析。數學思維最重要的特徵是對所要描述和分析物件的數量、構造、時空變化、邏輯關係和資訊方式等，提供了系統、抽象、嚴謹、精確的方法，維繫和支援人類的想象、歸納、演繹和綜合能力，以及高階心理活動的演變。
人類從來沒有像今天這樣，經濟和社會領域的紛紜複雜現象，最終體現為需要透過數學的概念表達和理解“大資料”。當下，沒有指數的意識，沒有“冪”認知，就沒有辦法理解疫情的嚴重性，對人類生存的威脅和未來的可能趨勢。如果沒有數學基本訓練，已經無法理解現代貨幣金融，例如“對沖基金”的原理。也就是說，當人類進入大資料時代，意味著人類進入基於數學思維認知經濟與生活的時代，或者說進入了沒有數學語言和對於數學關係的思維能力，已經無法認知經濟與生活的時代。
1.3.“疫情時代的不可能三角”
在這裡，我試圖藉助數學思維，藉助在“蒙代爾不可能三角”（也稱之為“蒙代爾三元悖論”）的啟發，提出“疫情時代的不可能三角”（epidemic situation impossible trinity），見下圖：[4]
“疫情時代的不可能三角”所要說明的是疫情過程中的基本困境：難以同時實現個人生命價值（對應的是個體自由），群體免疫（對應的是高死亡率），政府管制（對應的是嚴格隔離）。更深刻的分析是：在疫情狀態下，維繫社會 benefit和社會cost的關係失衡：如果從人文的態度，尊重每一個生命價值，社會經濟總成本難以為繼；而要控制社會成本，就要全方位壓縮個體自由空間；如果選擇群體免疫，則導致高死亡率。
第一部分小結：今天的數學語言與生活息息相關，唯有引入更多的數學語言和思維，方可以避免交流和邏輯困境。所以，需要透過數學語言改造我們的話語體系。
2.數字技術
即使以戰後作為歷史重要節點，數學作為科學的狂飆時代早已過去，進入發展和突破的緩慢時期。但是，數字技術卻進入了長達半個世紀以上的黃金時期。數學思維，必須有相應的數字技術，或者演算法技術的支援。前文所說的新的經濟現象、數學語言表達的東西，都必須有新的技術支援。所謂數字技術包含 “軟技術”與“硬技術”，兩者互相融合，甚至存在重疊，其界限是動態的。先是從計算機到網際網路的IT革命，之後，是大資料，雲端計算和AI。
2.1.“軟技術”方面。“軟技術”範圍廣泛。早期等同於“軟體（Software）”，期中最重要的組成部分是“計算機語言”，即“程式語言”，進而與大資料結合，包括資料探勘，儲存和分析，以及機器學習。簡言之，以人力為主的演算法活動都屬於數字技術的“軟技術”，其特定專業人員包括程式設計師和演算法工程師。
2.1.1.“雲端計算（cloud computing）”。目前，雲端計算，又稱為網格計算，經過過去十餘年的發展，已經相對成熟和獲得廣泛應用，其主要特點是透過網路“雲”將巨大的資料計算處理程式分解成無數個小程式，然後，透過多部伺服器組成的系統進行處理和分析這些小程式得到結果並返回給使用者。透過雲技術，實現對大資料採集、儲存、計算、處理和拓展。
2.1.2.“矩陣計算（Matrix computing ）”。這裡所指的“矩陣計算”，不再是傳統的非人工智慧的，以英特爾CPU晶片支援的“矩陣計算”，而是指基於人工智慧和機器學習實現的深度神經網路計算的超大規模矩算。這樣的矩陣計算正在取代現有的傳統計算，實現智慧系統、實時分析、AI推理、機器人等資料驅動的實時或近乎實時的相關計算。有一種說法：2030年企業將把42%的成本用於矩陣計算。[5] 1999年好萊塢推出電影《Matrix》（駭客帝國），之後第二部《Matrix Reloaded》（駭客帝國2: 重灌上陣），第三部《The Matrix Revolution》（駭客帝國3: 矩陣革命），核心內容是人工智慧和矩陣計算的結合如何顛覆和取代傳統計算模式。
2.1.3.“量子計算（Quantum computation）”。量子演算法則與經典演算法有著本質差別，因為量子演算法融入諸如量子的相干性、疊加性、並行性、糾纏性、波函式塌縮等量子力學很多的特徵，因而顯著提高計算效率。“最為典型的量子演算法有：Shor演算法（質因數分解），QEA演算法（組合最佳化求解），Grover演算法（量子搜尋演算法）等。這些量子演算法可能處理的問題不同，但都是採用了量子力學物理性質進行計算。”[6]至於量子計算的資訊單位稱之為量子位（qubit），全稱是“quantum bit”。與常規計算機的資訊單元以0和1 體現的二進位制不同，可以體現為 0，或者1，或者0和1並存狀態。比較經典計算，量子計算的有效性表現為：有能力避免經典演算法隨著資料量的增加而導致巨量時間消耗的情況。
2.2.“硬技術”方面
數字技術的“硬技術”方面，涉及領域廣泛，幾乎可以囊括IT產業的所有部門。但是，主要類別集中在以下幾個領域：
2.2.1.晶片技術（microchip）。晶片是經過很多道複雜的設計工序之後所產生的一種完整工業產品，是微電路、微晶片、積體電路的載體。而現代計算、資訊交流、製造體系、和交通系統，特別是網際網路，全都依賴於積體電路。晶片主要用於計算機主機板CPU，晶片的設計和高精度決定CPU的功能。在過去幾十年，晶片主要壟斷在英特爾，Arm以及他們的結盟公司。2010年在美國成立的RISC-V基金會，堅持開源、精簡、不受國際政治干擾的原則，正在改變晶片產業生態，吸引了包括谷歌、阿里巴巴、三星、華為、英偉達、西部資料等全球500多家企業參與研發，每年晶片出貨量達到百萬顆，很可能導致在CPU領域形成英特爾（x86）、Arm、RISC-V三分天下的格局。如果說積體電路帶來數字革命，說到底是“晶片”的不斷革命，不斷以“摩爾定律”與“梅特卡夫定律”體現的革命。梅特卡夫定律就是網路發展的指數描述，晶片的發展完全符合這個數學模型。未來晶片的巨大發展空間是人腦晶片和生物領域。
2.2.2. 通訊技術（communication tech）。（1）行動通訊網路。目前，行動通訊技術正處在從4G向5G的過渡階段，語音通訊將會逐漸地被資料通訊所取代。（2）衛星。衛星通訊不受氣候和自然地理的條件限制；衛星通訊成本低於長距離電纜通訊。馬斯克“Starlink”計劃極為值得關注，將1.2萬枚衛星發射到地球上空550千米處的近地軌道,形成衛星通訊體系，會深刻地改變世界。所以，馬斯克說，顛覆5G的不是6G，而是衛星通訊。
SpaceX的獵鷹9號衛星發射前
（3）量子通訊（Quantum Communication）。量子通訊是基於量子力學原理，以量子態為資訊載體的一種通訊形式，可以完成經典通訊所不能完成的任務。量子通訊被認為可以實現安全傳輸資訊的通訊方式。
2.2.3. AI 技術（Artificial Intelligence）。AI技術被定義為研究、開發用於模擬、延伸和擴充套件人類智慧的的技術科學，主要目標是使機器能夠勝任一些通常需要人類智慧才能完成的複雜工作。人工智慧的技術範圍廣泛，包括機器學習，計算機視覺，等等。
2.2.4. 量子計算機（quantum computer）。量子計算機是一種透過量子力學規律以實現數學和邏輯運算，處理和儲存資訊能力的物理系統。量子計算機以量子態為記憶單元和資訊儲存形式，以量子動力學演化為資訊傳遞與加工基礎的量子通訊與量子計算，在量子計算機中其硬體的各種元件的尺寸達到原子或分子的量級。根據外媒報道，2019年9月，IBM 宣稱，將很快為其IBM Q Network的客戶提供53-qubit量子計算機。2020年3月4號，建立於1890年代的霍尼韋爾公司（Honeywell International）在量子計算中提出了新的目標：2025年將使整個計算能力提高到10萬倍以上。
量子計算機外形
第二部分小結：2020年代將是數字技術綜合性發展，而且發展速度進一步加速的歷史時期。數字技術不僅可以實踐越來越多的數學模型，而且為數字經濟提供的日益完整的技術基礎。
3.數字經濟
“數字經濟”是現在被普遍使用的四個字，但是，很多人對數字經濟的解讀基本停留在初級水平。如果你不理解人類經濟生活已經數學化、數字化、不理解數學技術，當然沒有能力理解數字經濟。數字經濟，可以定義為是以數學思維，基於數字技術和演算法技術的經濟活動。廣義理解數字經濟，數字經濟是一種包括數字貨幣、數字資產、數字財富和生產方式的新經濟形態。
3.1.數字貨幣
2008年比特幣的誕生，標誌著數字貨幣時代的來臨。在過去十餘年間，數字貨幣經歷了爆炸性的發展，在數字貨幣市場上所交易的數字貨幣規模雖然有限，但是種類已經有數千種之多。鑄幣權壟斷的時代已經開始改變。2019年6月至2020年4月， Libra先後推出1.0版和2.0版白皮書，2020年4月，中國央行啟動央行數字貨幣（DC/EP）試驗，都屬於數字貨幣歷史上的里程碑事件。
包括央行數字法幣在內的更多的數字化穩定幣的出現和流通，是數字經濟發展的必要的條件。沒有數字貨幣的數字經濟和沒有數字經濟的數字貨幣，都是不可思議的。換句話說，沒有數字經濟環境之下的數字貨幣，沒有數字貨幣作為主要媒介的數字經濟，都是不可能的。因此數字貨幣就成為是否能夠實現數字經濟的最重要的途徑和前提。
3.2.數字資產和數字財富
在數字經濟形成與發展過程中，資料的生產要素貢獻比重不斷增加，進而成為具有價值的資產。數字資產的確權，加之與數字貨幣的結合，推動數字資產積累和轉化為數字財富。
3.3.數字產業模式
數字經濟產業化，主要透過三條路徑：
3.3.1.原生態數字經濟產業。主要是指出生於網際網路的產業。例如，亞馬遜，阿里巴巴，臉書、抖音等社交平臺。
3.3.2.轉型之後的數字經濟產業。例如，數字化的音樂、電影和出版業；Uber和滴滴打車。
3.3.3.數字經濟和傳統經濟混合產業。原本的傳統實體經濟，透過數字技術改造，完成部分或者整體改造，實現了數字化轉型。例如，石油與煤炭的資源產業的數字化。
3.4. 數字制度
現在數字技術一方面不斷地創造著新型的數字企業、行業和產業，另一方面正在擴充套件對傳統實體經濟的改造。在數字產業這個過程中，會產生以建立數字經濟架構為主業的新型公司，推動數字經濟的規模化發展。經濟活動中的人流、物流、金流與資訊流的數字化相互影響和全面加速。實現在任何時間、任何地點，人、機、物的互聯互通的物聯網（IOT）程序遠遠快於人們原有的預期。Arm曾經預測，2017年至2035年，全球將增加約近乎於天文數字的1萬億臺物聯網裝置。
IOT所改變的不僅僅是人們的生活和生產方式，而且會推動傳統經濟制度，包括市場機制、企業制度、市場競爭模式，甚至法律體系的改變和改革。因為現存的經濟制度形成於工業革命程序的的歷史背景，與工廠生產，僱傭勞動，Corporation，跨國公司制度相適應。而IOT則提供了共享經濟、個體就業和新型經濟組織的物理前提。
因為數字經濟的形成與發展，人類會進入到一個新的平行世界，即數字經濟世界、觀念經濟和資訊經濟與傳統實體經濟並存的世界。方興未艾的區塊鏈將是這個平行世界的橋樑。不僅如此，區塊鏈還是消除人們之間“信任赤字”，重建信任的基礎結構。區塊鏈是21世紀以來最特殊的Innovation，包括軟技術與硬技術，其基礎同樣是數學，例如大家熟知的“雜湊函式”，以及作為數學重要分支的密碼學。
結語：迎接數字文明
2020年冬天開始的全球性疫情，是一個悲劇性的歷史事件，逝去成千上萬的生命和破碎成千上萬家庭。但是，我們還要發現：在疫情過程中，世界的進步並沒有停止。疫情加快了全世界的數字化過程，人們更換語言，改變傳統思維模式，學習使用數學概念，接受數字思維，拓展視野，人類的數字文明的程序加快。
集哲學家和數學家於一身的羅素（Bertrand Russell，1872-1970）曾經說過：“數學，如果我們正確地看它，它不但擁有真理，而且也有至高的美”。數學家哈代（Godfrey Harold Hardy,1877-1947）也說過近似的話：“數學家的模式同畫家和詩人的模式一樣，它們一定是美的；數學概念就像顏料和水彩，一定會透過某種和諧的方式組合在一起”。[7]所以，未來的數字文明會顯現強烈的真理與美的特徵。
圖左為羅素（Bertrand Russell，1872-1970）
圖右哈代（Godfrey Harold Hardy,1877-1947）
謝謝大家！[8]
圖為作者為本次會議準備講話的手稿
[1] 本文系作者根據2020年4月 26日《“雲上思想”研討會暨No90 網路智酷沙龍》上的發言，發表之前作者根據記錄做了補充和修訂。
[2] 中國復旦大學常務副校長、生命學院教授、博士生導師金力3月初提出一個估算新冠肺炎的感染人數的簡單數學線性模型，併發明瞭一個簡單的計算公式：𝑙𝑜𝑔10(𝑁t + 34) = 0.0515 × 𝑡 + 2.075。證明感染人數大約呈現為指數增長，每19天感染人數增長10倍。medrxiv 網站，2020年3月2日。
[3] 宋可為公式如下：V = K*f(N,T),其中N表示人口，T表示發展歷史，K表示社會制度，V表示提出的廣義虛擬經濟價值。《虛數對廣義虛擬經濟的啟示》，《廣義虛擬經濟，論文集1》，第187-192頁，航空工業出版社，2008年
[4] 本圖請崔巍教授繪製。
[5] 雲科技時代：“矩陣計算與AI革命：20年前《駭客帝國》的預言成真”，2020年4月25日。
[6] 量子客：“量子演算法”。
https://www.qtumist.com/post/3147
[7] 轉引自：代維 歐瑞爾（David Orrell著《科學之美》（Truth of Beauty），第xv頁，電子工業出版社，2015年
[8] 之後主持人與朱嘉明有一個關於“複數“的簡單對話。主持人：謝謝朱老師。對於朱老師的發言，我覺得大家一定在思想上受到了一種震撼。朱老師用若干數學的概念，告訴我們怎麼從數學思維的角度，來重新看待世界的變化。我覺得朱老師所講，既高屋建瓴，又深入淺出。特別是，朱老師提到“疫情不可能三角”，深受啟發。另外，有一個小地方，我想跟您確認一下，宋可為先生的那篇文章所說的對虛擬經濟有啟發的“fushu”，是您前面講的正負的“負”數，negative，還是包括“實數”和“虛數”的 “複數”， complex number？朱老師：當然是第二個，complex number。
（本文作者：朱嘉明，經濟學家、數字資產研究院學術與技術委員會主席）
