馬科維茨的多樣化思想是與越來越多的資產組合,協方差的相應數量變得明顯大於資產的數量,因此投資組合的風險將更大程度取決於資產之間的協方差,而不是單個資產的風險。馬科維茨模型引數最佳化的表觀形式有如下數學表示：
ωi 就是將投資於 i 的資本比例; ri 是資產i的收益率; µi 是資產的預期收益率; 其中，µij 是資產 i 與 j 的收益率的協方差; E(rP) 為投資組合的預期回報率; σP 是投資組合的風險。
這種模型對於大多數實際情況來說都足夠普遍，對於理論分析和數值解來說也足夠簡單。該模型以其建立者 Markowitz 模型的名字命名，但也以均值-方差模型的形式出現。馬科維茨模型基於投資者和金融市場行為的幾個假設:
-投資者可估計某一持倉期間可能收益的概率分佈。
-投資者具有單期效用函式，在財富邊際效用遞減的框架內最大化效用。
-投資者利用可能回報值的可變性來衡量風險。
-投資者只關心他們的投資組合在特定時期內的收益的平均值和方差。
-投資者所使用的預期回報和風險是由回報概率分佈的前兩個時刻來衡量的
-期望值和方差。
-金融市場沒有摩擦。
-沒有交易成本或稅收。
投資組合有效邊界
每一種可能的資產組合都可以繪製在風險回報空間中，所有這些可能的投資組合的集合在這個空間中定義了一個區域。這一區域的上邊緣被稱為有效邊界，有時也被稱為“馬科維茨子彈”。沿著這條線的組合代表投資組合(明確地排除無風險的選擇)，對於給定的回報水平，風險是最低的。相反，對於給定的風險量，位於有效邊界上的投資組合代表提供最佳可能回報的組合。從數學上講，有效邊界是風險最小的組合和收益最大的組合的交集。
上圖展示了整個投資機會集，它是由不同比例的資產組成的投資組合所能提供的風險和回報的所有可達到的組合。在有效邊界上繪製的投資組合中特定風險資產的組合代表了投資組合在期望的預期收益水平上可能的最低風險，或者在可接受的風險水平上可能的最佳預期收益。
結果分析與討論
一般來說，需要至少 30 年，才能對股票的風險和預期回報作出有用和現實的預測。不幸的是，木桶效應決定了短板在於數字貨幣並沒有這麼長的歷史。這項研究的資料僅包括市值前十的數字貨幣 365 天的歷史價格，與其相比較的是 A 股市場市值排名前十的股票 365 天的歷史價格。具體來說，從2019 年 7 月13 日到2020 年 7 月 13 日，每天的股票收盤價都會被追蹤。截至 2020 年 7 月，兩個市場前十市值的標的如下所示:
所選股票的風險和回報
我們可以計算出 20 項資產中每項資產的平均週迴報率。在 2019 年 7 月13 日到 2020 年 7 月 13 日的研究期間，20 只樣本中有 10 只產生了正回報。剩下的6%表現不佳，回報率為負。
上表列出了十大股票和十大數字貨幣的收益率對比。從表格中可以看出，數字貨幣 CHAINLINK 的收益在所有投資品中最高。數字貨幣收益率的前三名遠高於 A 股。
最小化投資組合風險的有效邊界
下面兩張圖所示的有效邊界說明了對任何目標收益率而言風險最低的有效組合的集合。在相同的回報水平下，沒有其他投資組合的風險比位於這個有效邊界上的投資組合更低。
我們利用這十隻股票的不同配比進行了 100 萬種隨機假設，並將每一種假設的收益率作為x，y 軸座標製作成了散點圖。此外，我們根據每一個組合的夏普比設定了從低到高由紅至綠的顏色。
數字貨幣組合
股票組合
一旦有效邊界被構造出來，特定投資者的任務就是根據他們獨特的風險偏好從圖上的點選擇他們自己適用的投資組合。風險容忍度低的投資者傾向於選擇風險與收益組合位於前沿左側的投資組合。相反，那些願意接受高風險以賺取更多回報的人，可能對位於邊界右側的投資組合感興趣。
最小風險組合
根據馬科維茨模型定義，我們得到最小風險組合中各組成資產的精確權重，如下圖所示。在這個投資組合中，10 只股票樣本中的資產仍然存在比重分配差異。值得注意的是，收益率最高的貴州茅臺和恆瑞醫藥的分配比例並不高，分別佔總投資組合的 0.64% 和 8.91%。獲得最大權重分配的是中國銀行和農業銀行，分別佔 28.67% 和 23.84%，其收益率分別是 -0.27% 和 -6.69%。最小風險組合的平均收益為 2.95%，風險水平為 13% 。該投資組合的夏普比率為 0.211。
股票組合
在下圖這個數字貨幣投資組合中，10 個數字貨幣樣本中的資產依舊存在比重分配差異。值得注意的是，收益率最高的 CHAINLINK 和 CRYPTO.COM 的分配比例依舊並不高，分別佔總投資組合的 5.41%和 3.12%。獲得最大權重分配的是 ETH 和 BTC，分別佔 41.59% 和 20.42%，其收益率分別是 3.68% 和-12.7%。最小風險組合的平均收益為 13.28%，風險水平為 38.50% 。該投資組合的夏普比率為 0.34。
最大夏普比率投資組合
除最小風險組合外，我們也計算了最大夏普比組合中各組成股的精確權重，如下表所示。在最大夏普比率組合中，資產仍保持不同的權重配置。10 只股票中的配置差異十分懸殊。值得注意的是，貴州茅臺和恆瑞醫藥是權重配置最大的股票，分別為 30.04% 和 26.90%。該投資組合的預期收益率為 39.75%，風險水平為 21.01%，夏普比率為 1.89。
如下表所示。在最大夏普比率組合中，在最大夏普比率組合中，資產仍保持不同的權重配置。10 個幣種的配置差異十分懸殊。值得注意的是，link 和 cro 是權重配置最大的股票，分別為 30.61% 和 32.92%。該投資組合的預期收益率為 114.87%，風險水平為 68.64%，夏普比率為 1.67。
Conclusion 結語
本研究實現了實際應用 Markowitz 模型建立最優投資組合的目標。透過投資於有效的投資組合——位於有效邊界上的投資組合，在一定的風險水平、最大的夏普比率或最小的風險下，投資者能夠獲得最大的投資回報。這是馬科維茨多樣化的力量，投資者如果知道如何恰當地應用馬科維茨模型，就可以改善他們的投資業績。
