在這篇文章中，我們觀察比特幣的整個價格歷史，看到比特幣的價格演變可以被理解為在一個走廊內移動，而這個走廊由兩個基於時間的冪律法則來定義。儘管使用冪律法則對比特幣的價格進行建模的想法並不新鮮，但本文對這一想法作出更多的闡述，並提供一些額外的解釋。
這一模型允許我們對比特幣的未來長期價格作出更廣泛的預測。例如：
· 該模型預測比特幣的價格不會早於2021年也不遲於2028年達到10萬美元。2028年之後，價格將永遠不會低於10萬美元。
· 每個比特幣價格不會早於2028年之前，也不會遲於2037年之後，比特幣價格達到100萬美元。2037年之後，價格永遠不會低於100萬美元。
此外，價格走廊可以分為兩個帶，一個位於價格預測的更低一端，且相當薄；另一個位於更高一端的預測，範圍要大很多。比特幣價格變化在這兩個波段都花費了相同的時間。這意味著，大量的泡沫和破滅有可能繼續存在。上述的預測看上去範圍很廣，但它們跟其他很多人的預測不同，從這個角度，也足夠精確。這個價格模型還有助於決策進入和離開市場的時間點。
從長期看，我個人非常有信心。價格會大致按照文章預測的方向演化。事實上，我認為這些預測更有可能只是過低而不是過高：面對大的外源衝擊時，我認為比特幣有更多的上行空間而不是下行發展。（藍狐筆記注：外源衝擊主要是指從外部輸入的影響，而這個影響一般不受內部體系影響。）不過，考慮到大的外源衝擊，本文並不試圖做任何預測。相反，我們會假設事情繼續“像往常一樣”。
看待價格的不同方式
比特幣價格最有意思和最讓人驚訝的地方是它在短短几年內經歷了許多個數量級的變化。我能找到的第一個公開上市的價格是0.05美元，是2010年7月17日Mt Gox交易所上的價格，但在此之前，很多比特幣以更低的價格換手，比如2010年5月22日，Laszlo Hanyecz為兩個比薩餅支付了10,000個btc，當時價格大概相當於每個btc0.0025美元。在寫作本文時，比特幣價格在10,000美元左右徘徊，這個價格大約是Laszlo Hanyecz購買比薩餅時的400多萬倍。
對於金融工具來說，經歷如此巨大的數量級變化是不同尋常的，並且實際上，檢視按照時間推移的比特幣價格變化可能讓人困惑，如果價格是以線性比例展示。（藍狐筆記：作者的意思是說，比特幣價格變化圖按照線性比例會呈現陡峭的變化，圖示讓人難以理解。所以，比特幣價格變化圖還有一種使用對數刻度的呈現。）
下面是比特幣從2010年7月17日到最近的價格圖。任何列出比特幣價格的網站上都可以找到類似的圖表。
跟過去的價格相比，任何接近現在的價格都有大幅的變化，似乎過去的價格毫無意義。然而，為了理解長期價格趨勢的意義，所有過去的價格都有一定的重要性。產生上述效果的原因是使用線性比例對於經歷如此大數量級變化的價格圖來說是不方便的。
因此，使用對數標尺比線性標尺更有用。對數標尺給出的是同等的間距，例如從0.01到0.1和從1000到10000是同等的間距。從這個角度，比特幣價格演化的更大圖景變得更加清晰：
顯而易見的是，比特幣的價格增長率看上去趨於緩慢。價格從0.1美元到1美元，10倍的漲幅在幾個月內完成。而後續的10倍增益就趨於緩慢。
上圖中，價格（y軸）按對數比例縮放，而時間則不是（x軸）。讓我們來看一下，如果x軸也按照對數比例縮放會發生什麼（在所謂的對數—對數圖中）：
現在的價格曲線看起來非常線性！
線性迴歸
既然資料看上去如此線性，讓我們嘗試使用線性迴歸。這個想法本身並不新鮮。我在reddit上也發現過嘗試這個方法的帖子。
綠線是線性迴歸的結果。線性迴歸給我們提供下列的冪律法則，以預測比特幣在特定日期的價格：
價格=10^(a + blog10(d))
其中a = -17.01593313，斜率 b = 5.84509376 ，d為2009年以來的天數。
注意：我們得到冪律，它是非線性的，因為我們在對數空間中進行了線性迴歸。
從視覺上看，效果很適合。它非常好地回溯到交易所最初上市時的價格。令人感興趣的是，reddit上的帖子是發表於一年前，結果至今還很相似。此外，確定係數很高：0.93139763，這給予我們另一個跡象表明，我們有個不錯的模型擬合。
我們可以觀察確定係數是如何隨時間推移而演化的。令人驚訝的是，隨著時間的推移，模型傾向於更好地擬合資料：
x軸代表用於線性迴歸模型的資料點（天）的數量，而y軸代表對擬合程度的衡量。比特幣的價格越來越符合冪律法則。
讓我們稍微擴充套件一下。如果我們移動上述的擬合線低一些，但不改變斜率，我們發現支撐線似乎效果很好：除了2010年的一個例項，價格從來沒有突破這條線：
對比特幣價格似乎有一個基本的支撐，這在歷史上看，它遵循了冪律法則。
我們也可以嘗試僅對2011、2013、以及2017年三個峰值執行線性迴歸。有趣的是，這種擬合效果也很好：所有三個資料點都非常接近於線：
市場峰值似乎也遵循冪律。如果下一個市場頂部也遵循冪律，市場頂部將位於這條線上。這一冪律的斜率是5.02927337，而所有資料的擬合給予我們稍微更大的斜率5.84509376。
這表明，跟整體趨勢線相比，比特幣牛市相對容易控制。這可能是預期的。隨著市場成熟，訂單簿更有深度，人們可以預期波動性會更低。
我們現在有兩個冪律：比特幣價格變化（較低的支撐線）、以及由三個市場頂部定義的較高線。
現在，讓我們來看看哪個資料點最適合模型。我們將使用隨機樣本共識（RANSAC），它是去除離散值的迭代形式：首先，線性迴歸在所有資料點上執行。然後，去除那些跟資料最不符合的資料點，並再次執行線性迴歸。當50%的資料點被移除時，我們停止。該圖顯示結果：
此圖中突出顯示了由RANSAC選擇的資料點。似乎有兩組資料點：由RANSAC選擇的資料點非常接近於模型擬合。在不是由RANSAC選擇的資料點組中，這些值幾乎都高於模型擬合。實際上，其中有一些比模型擬合更高。這些資料點大多數發生在牛市中。比特幣價格似乎遵循兩種模式：
· 正常模式
在此期間的價格由冪律很好地定義。
· 牛市模式
在此期間，價格可能遠高於正常模式，並且其間價格波動更大。
價格在這兩種模式中的每一種中花費同等的時間。
最後，讓我們將所有上述的模型擬合組合成一個圖：
我們看到，使用所有資料的擬合與RANSAC的結果有很高相似度的斜率，但偏移略有不同。這是因為牛市價格的大多數都被當成離散值被RANSAC（隨機樣本共識）排除在外。
模型預測
我們現在有各種模型來預測未來的比特幣價格。我們所要做的是擴充套件此圖表：
該模型預測，價格將在紅色支撐線和藍色頂部線之間移動。紫色的穩健擬合/RANSAC線定義“正常模式”的中心。過去兩次減半以及預計未來的減半都由黑色垂直線標記。
我們可以進一步將這個走廊劃分為兩個帶，一個對應“正常”模式，一個對應“牛市”模式。迄今為止，價格已經在較低的“正常模式”帶花費了一半時間，而其餘時間則在較高的“牛市模式”帶中。
解讀
這種冪律模型預測比特幣價格是持續但緩慢地增長。它還預測未來會出現減少的但仍然很大的波動。它預測價格在2021年前無法達到10萬美元，但它也預測價格在2028年後不會低於10萬美元。
它預測價格不會在2028年前達到100萬美元，但它預測價格在2037年後不會低於100萬美元。該模型預測價格會不斷上漲，儘管上漲速度越來越慢。
跟其他的預測相比，這些預測似乎在一定程度上走的是中間道路。根據這個模型，McAfee的著名預測過於樂觀。
價格走廊很寬泛的事實和增長率趨緩的事實相結合，它意味著不幸運的投資者在安全收回初始投資之前必須等待越來越長的時間。例如，在2011年泡沫峰值購買比特幣的投資者只需要等待2年，也就是2013年實現永久解套。
然而，在2013年泡沫峰值購買比特幣的投資者，需要等待4年時間，也就是直到2017年，才實現永久解套（從價格中解套，並保持在該最高價格之上）。該模型預測，2017年泡沫峰值購買比特幣的使用者，需要等待6年時間，也就是2023年底，才能完全解套。
到目前為止，每個為期四年的減半期都有泡沫，每次價格都會被下個週期的泡沫所超越。由於增長趨緩和走廊的寬泛，這不能保證未來也會持續出現相同的情況。例如該模型允許如下場景：
· 在2022年初的價格為15萬美元，這是下一個和第四個四年週期。
· 價格低於15萬美元，直到2028年中期，即第六個四年期間。
這種情況會給予比特幣的批評者們提供彈藥，但只要做好準備，這不會是特別讓人擔憂的。
為什麼比特幣遵循冪律法則，我們應該期待它會一直持續嗎？關於比特幣遵循冪律法則的觀察無疑是自組織的。此外，除了時間之外，還有其他因素也會影響比特幣的價格，例如稀缺性。
然而，比特幣的稀缺性是程式設計的，也是基於時間的。基於時間的簡單模型在未來持續發揮作用並非不可信。就對數—對數圖中衡量而言，冪律擬合運作越來越好的事實表明這可能確實成立。
結論
本文中，我們提出了簡單的基於時間的方程來模擬比特幣的價格。值得注意的是，該方程式很簡單，使用時間作為唯一變數，但是，在很長時間內效果良好。
這個模型並不試圖預測牛市，但這似乎是定期發生的。然而，預計牛市將落在這個模式的走廊範圍中。
