根據 Black-Scholes 模型，我們可以推匯出以下數學公式來計算歐洲看漲期權和看跌期權的公允價值:
上述公式使用了風險調整後的概率。N(d1) 是風險調整後的在期權到期時收到股票的概率。N(d2) 是期權將被執行的風險調整概率。這些概率是使用因子 d1 和 d2 的正態累積分佈計算的。該公式給出了非派息股票的歐洲看漲期權的價值/價格。函式 N(・) 代表累積分佈函式為正態(高斯)分佈，這是一個隨機變數的概率是小於等於其輸入條件(即d₁和d₂)正態分佈的。概率N的值(・)換句話說永遠是 0≤N(・)≤1 之間。輸入 d₁ 和 d₂ 得出:
Black-Scholes 模型主要用於計算歐式期權的理論價值，由於美式期權具有在到期日之前行權的特點，因此不能應用於歐式期權。
Black-Scholes 模型中使用的主要變數包括:
· 標的資產的價格 (S) 是該資產的當前市場價格
· 執行價格 (K) 是期權可以被執行的價格
· 波動率是衡量證券價格在隨後的階段變動幅度的指標
· 截止時間 (T) 是指從計算日期到執行日期之間的時間
· 利率 (r) 為無風險利率
股息收益率最初並不是模型的主要輸入內容。最初的 B-S 模型是為無股利股票的期權定價而開發的。由於我們透過 Delta 對沖消除了隨機性，該方程中沒有任何隨機變數，所以它是一個一般的（偏）微分方程，而非隨機微分方程。求解這個微分方程需要給定的邊界條件。對於歐式看漲期權，它的邊界條件為當時間 t= T（行權時刻）時，期權的價格 C 必須滿足 C = max (S (T)-K,0 ) 這裡 K 是行權價格。
對於任何一個期權，在定價時有兩個不確定性需要考慮：
這個期權到行權日到底是不是實值期權（in-the-money），就是到底有沒有行權的價值（比如說我買了一個看漲期權，但是行權日股價 S 低於 K，那麼這個期權就沒有價值）。
如果行權了，那麼我們的（期望）收益到底能有多少（比如行權價是 200，在行權日股價是 220，那麼每股我們能賺 20 塊；而如果股價是 120，則每股我們虧 80 塊）。
這兩個不確定性恰恰就對應著由 BS 定價公式中的 N（d1) 和 N（d2） 。
B-A-W 定價模型
我們知道，歐式期權只有在到期日才能行權，美式期權在到期日前的任何時候都能行權，就是這種行權時間的靈活性賦予了它相對歐式期權的一個溢價，那麼，問題就清楚了，美式期權的定價公式如下：
美式期權價格=歐式期權價格+溢價
那麼具體怎麼計算呢，首先我們先引入一個描述期權價值的眾所周知的偏微分方程:
這只是對 B-S 模型的基本假設做了一些調整。基本上，我們允許對標的資產發放股息 (d)，並假設其收益率為不變。股息收益率定義為每股股息除以股價。資產的持有成本 (b) 是無風險回報率減去年度股息收益率 (b = r-d)。當 d = 0 和 b = r 時，這是普通的 B-S 公式。當r = d和b = 0時，這是期貨期權的 B-S 模型。
提前行權溢價的定義為：
在這裡我要多解釋一句：其中，C (S,T) 是美式期權價值，c (S,T) 是歐式期權價值。這裡的基本要點是，美式期權的價值必須等於歐式期權價值加上一個額外特徵的溢價。現在，讓時間從到期日的時間向後發展,* t，此時此刻的時間為 t。然後到期時間 T 的定義是T =−t -t 溢價率的變化對時間是一個等式 εT=−εt。我們將這個結論應用於之前的偏微分方程，得到了提前行權溢價的偏微分方程。
我們用 M = 2r/σ^2, N = 2b/σ^2 帶入公式，把他簡化一下：
然後 Barone-Adesi & Whaley 將提前行權溢價改寫為 εc(S,K)=K(T)f(S,K)，表示為到期時間和股價的函式。可得 εSS = -KfSS 和 εT= KKTf + KKTfK。將這些代入上式，透過收集項和因式分解可知
其中，K（T）= 1-exp（-rT）是已知條件。
到目前為止，我們還沒有做出任何近似，因此這仍然是一個精確的分析。現在看看 (1−K)MfK LHS的最後一部分。透過讓T趨於0,fK趨於0，如果 T 趨於無窮，K 趨於 1。因此透過消去最後一項，剩下的方程是一個整潔的二階常微分方程。
我們透過求線性解，得出一個通用解：
顯而易見，現在有一個問題，那就是如何承認和設定公式的邊界條件。由於 q1 < 0，則當 S = 0時，f (S)→±∞。這是不太合理的，因為從邏輯上講，不值得為不值錢的東西支付額外的錢。一般來說，如果 S 趨向於零，那麼提前行權溢價也必然趨向於零。因此施加約束 a1 =0，使a2S^q^2永遠不能接近 ±∞。這個公式可以寫成
這也就是公式的最終解。
例項分析
首先，我們分別取用了道瓊斯、標準普爾 500 和納斯達克指數基金的期權（美式期權）以及 OKex、Deribit 和上證 50 ETF 的期權（歐式期權）進行比較。
我們分別計算了上述六個期權的期權費與行權價的比、期權費與限價的比、限價與行權價的比。並透過 B-S 模型和 B-A-W 模型分別計算了他們的模型價值以及實際期權費與模型期權費的偏移值。
從圖中可以看出，與模型差距最小的是 okex 和 deribit 的期權，其中 okex 的期權與模型價格相差無幾。歐式期權價格偏移值明顯高於美式期權，這也是由於模型缺陷造成的正常現象。
我們同時計算了這六個看漲期權的 break even price 和行權價以及和現價的偏移值，可以看出，btc 期權的偏移值明顯高於其他期權。
於是，我們每個期權採集了八條不同行權價的期權，總共 48 條資料進行觀測，試圖尋找期權中的偏移值與隱含波動率的關係，結果如下：
根據觀測的結果，我們可以發現偏移率能夠解釋 98.43%的隱含波動率情況，也就是說，線性推導關係成立。所有的期權偏移率與其隱含波動率完美符合，即btc 期權市場有效性與其他市場有效性相同。
注 1：資料採集於 7 月 9 日下午 2 時 37 分
Conclusion 結語
對於投資者來說，除持倉風險外，對 OKEx 與 Deribit 交易所基本可以排除其市場定價有效性的懷疑。
