本文探討了時間與比特幣價格之間是否存在關係。針對最小二乘假設，對提出的雙對數(log-log)模型[1.2&3]進行了統計有效性檢驗，使用Engle-Granger方法進行協整，以確保每個變數的平穩性以及潛在的虛假關係。 除了這些測試中的一種以外，所有測試都可以反駁時間是比特幣價格一種重要預測因素的假設。
各種來源[1、2和3]提出了對數價格〜對數時間(又名對數增長)模型來解釋比特幣價格走勢的很大一部分，因此提出了一種估計未來比特幣價格的機制。
科學方法對大多數人都是很難理解。 這是違反直覺的。 它可能會得出不反映個人信念的結論。 理解這個基本的基本概念是該方法的基礎：錯誤是可以接受的。
根據偉大的現代科學哲學家卡爾·波普爾(Karl Popper)的觀點，為一種錯誤的結果檢驗一種假設是增加論點正確性的唯一可靠方法。 如果嚴格和重複的測試不能表明假設是不正確的，則對於每個測試，假設都具有較高的正確性。 這個概念稱為可證偽性。 本文旨在偽造比特幣價值的對數增長模型，該模型在[1、2和3]中進行了基本定義。
注：所有分析均使用Stata 14執行。 本文不充當財務建議。
定義問題
為了偽造一個假設，首先我們必須說明它是什麼：
空假設(H0)：比特幣的價格是比特幣已存在天數的函式
替代假設(h2)：比特幣的價格不是比特幣存在天數的函式
[1、2和3]的作者選擇透過在比特幣價格的自然對數和比特幣存在天數的自然對數上擬合普通最小二乘(OLS)迴歸來測試H0. 兩個變數都沒有伴隨的診斷程式，也沒有任何確定的對數轉換推理。 該模型沒有考慮由於非平穩性造成的虛假關係的可能性，也沒有考慮任何相互作用或其他混雜因素的可能性。
方法
在本文中，我們將探索該模型並透過常規迴歸診斷對其進行執行，並確定對數轉換是否必要或適當(或兩者)，並探討可能的混淆變數，互動作用以及對混淆的敏感性。
另一個將要探討的問題是非平穩性。 平穩性是大多數統計模型的假設。 這個概念即隨著時間的流逝，任何時刻都沒有趨勢，例如，相對於時間的均值(或方差)沒有趨勢。
在平穩性分析之後，我們將探討協整的可能性。
符號
介質在數學符號方面相對有限。估計統計引數的常用符號是在上面放一個範圍。相反，我們將術語的估計定義為[]。例如β的估計值= [β]。如果我們表示一個2x2矩陣，我們將像[r1c1.r1c2 \ r2c1.r2c2]等進行操作。下標術語被@取代-例如，對於向量X中的第10個位置，我們通常將X下標10.我們寫成X @ 10.
普通最小二乘
普通最小二乘迴歸是一種估計兩個或多個變數之間線性關係的方法。
首先，讓我們將線性模型定義為X的某個函式，該函式等於Y且存在一些誤差。
Y =βX+ε
其中Y是因變數，X是自變數，ε是誤差項，β是X的乘數。OLS的目標是估計β，以使ε最小。
為了使[β]成為可靠的估計，必須滿足一些基本假設(稱為高斯-馬可夫假設[4])：
因變數和自變數之間存線上性關係
這些錯誤是同調的(也就是說，它們具有恆定的方差)
誤差的平均分佈為零
錯誤中沒有自相關(也就是說，錯誤與錯誤的滯後無關)
線性度
我們首先看一下價格v天的非變換散點圖(來自Coinmetrics的資料)。
圖1-價格v天。 資料分佈範圍太廣，無法透過視覺確定線性度。
在圖1中，我們遇到一個很好的理由來獲取價格的對數——跨度太寬了。 取價格的對數(而不是天)並重新繪圖，使我們形成了熟悉的對數顯示模式(圖2)
圖2-日誌價格v天。 一個清晰的對數模式正在出現。
取幾天的對數並再次作圖，得出了由圖3中[1、2和3]的作者確定的明顯線性模式。
圖3 —明顯的線性關係出現了
這證實了對數-對數的選擇——唯一真正顯示出良好線性關係的轉換。
圖4 –平方根變換比未變換的序列好很多
因此，初步分析不能否定H0.
對數-對數擬合迴歸在下面的圖5中給出，其中[β] = 5.8
圖5 —對數-對數迴歸結果
使用該模型，我們現在可以估計殘差[ε]和擬合值[Y]並測試其他假設。
同質性
如果誤差項中恆定方差的假設(即同心平穩性)為真，則對於預測值中的每個值，誤差項將在0附近隨機變化。 因此，RVF圖(圖6)是研究此假設準確性的簡單而有效的圖形方法。 在圖6中，我們看到有一個巨大的模式，而不是隨機的散射，表明誤差項的非恆定方差(即異方差)。
圖6a-RVF圖。 此處的模式表示存在問題。
像這樣的異方差性會導致係數[β]的估計值具有較大的方差，因此精度較低，並導致p值比應有的值大得多，這是因為OLS程式無法檢測到增大的方差。 因此，當我們然後計算t值和F值時，我們使用了方差的低估值，從而導致較高的顯著性。 這也會對[β]的95%置信區間產生影響，該區間本身是方差的函式(透過標準誤差)。
自相關的Breusch-Godfrey [6&7]統計量也很重要，進一步為該問題提供了證據。
圖6b-檢測到的殘差中的自相關
在這個階段，通常是我們停止並重新指定模型的時候。 但是，鑑於我們知道這些問題的影響，因此繼續進行迴歸分析以瞭解存在這些問題將相對安全。 我們可以透過多種方式來處理這些問題中的(輕度形式)，例如自舉或使用健壯的估計器作為方差。
圖7 —不同估計顯示了異方差的影響
如圖7所示，儘管方差有小幅增加(請參見擴大的置信區間)，但在大多數情況下，存在的異方差實際上並沒有太大的有害影響。
誤差中的正常性
誤差項服從零均值正態分佈的假設比線性或同方差不那麼重要。 非正態但不偏斜的殘差將使置信區間過於樂觀。 如果殘差偏斜，那麼您可能最終會有一點偏差。 從圖8和9中可以看到，殘差嚴重傾斜。 Shapiro-Wilk正態性檢驗的p值為0.它們不完全符合正態曲線，因此置信區間不受影響。
圖8-誤差項的直方圖，正態分佈(綠色)覆蓋。 這個誤差項應該是正常的，但事實並非如此。
圖9-誤差項的正常分位數圖。 點越接近直線，法線擬合越好。
槓桿作用
槓桿的概念是，並非迴歸中的所有資料點都對係數的估計有同等的貢獻。 某些具有高槓杆作用的點可能會根據是否存在來顯著改變係數。 在圖10中，我們可以很清楚地看到，涉及點數太多(平均剩餘金額以上且平均槓桿以上)。
圖10-利用v平方殘差。
最小二乘(OLS)摘要
基本診斷表明除了線性以外，基本上違反了所有高斯-馬爾可夫(Gauss-Markov)假設。 這是拒絕H0的相對有力的證據。
穩定狀態
平穩過程被稱為整合了0級(例如I(0))。 非平穩過程為I(1)或更大。 在這種情況下，整合更像是窮人的整合——它是滯後差異的總和。 I(1)表示，如果我們從序列中的每個值中減去第一個滯後，我們將有一個I(0)過程。 相對眾所周知，對非平穩時間序列的迴歸可以導致虛假關係的識別。
在下面的圖12和圖13中，我們可以看到我們不能拒絕增強迪基·富勒(ADF)檢驗的零假設。 ADF檢驗的零假設是資料不穩定。 這意味著我們不能說資料是固定的。
圖11和12 – GLS增強了ADF測試，以記錄價格和記錄天數為單位根。
Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin(KPSS)測試是對ADF測試的平穩性的補充測試。 該測試具有零假設，即資料是固定的。 如圖13和14所示，我們可以拒絕兩個變數中大多數滯後的平穩性。
圖13和圖14 —針對平穩性無效的KPSS測試
這些測試證明這兩個系列無疑是平穩的。 這有點問題。 如果該序列至少不是趨勢平穩的，那麼OLS可能會誤導您識別虛假關係。 我們可以做的一件事是獲取每個變數的對數日差並重建我們的OLS。 然而，由於此問題在計量經濟學系列中相當普遍，因此我們可以使用更強大的框架——稱為協整。
協整
協整是一種處理一對(或多個)I(1)程序並確定是否存在關係以及該關係是什麼的方法。 為了理解協整，我們舉了一個醉漢和她的狗的簡化例子[3]。 想象一下，一個醉漢用皮帶牽她的狗回家。 醉漢在各處走來走去， 這隻狗也隨機行走：嗅樹，吠叫，追逐抓撓。 但是，狗的總體行進方向將在醉酒者的牽引帶範圍內。 我們可以估計，在醉漢步行回家的任何地方，狗都會在醉漢的皮帶長度之內(確保它可能在一側或另一側，但狗一定在皮帶長度之內)。 這種糟糕的簡化是對協整的一個粗略比喻——狗和主人一起移動。
將其與相關性進行對比——假設流浪狗沿著醉酒走了95%的回家路程，然後跑去追著汽車駛向城鎮的另一側。 流浪者與行走行徑之間將有很強的相關性(字面意思是R²：95%)，但是就像醉漢擁有許多晚上的床頭櫃——這種關係並不意味著任何東西——它不能用來預測醉酒的出行地點，而在旅途的某些部分中，這是事實，而在某些部分中，這是完全不正確的。
為了找到醉漢，首先，我們將看到我們的模型應使用什麼滯後規範。
圖15-延遲階數說明。 最小AIC用於確定。
我們在這裡確定透過選擇最小AIC進行調查的最合適的滯後階數為6.
接下來，我們需要確定是否存在協整關係。 簡單的Engle-Granger框架[8.9.10]使此操作相對容易。 如果測試統計量比臨界值更負，則存在協整關係。
圖16 —測試統計量遠沒有小於任何臨界值
圖16中的結果沒有證據表明對數價格與對數天之間存在協整方程。
侷限性
在這項研究中，我們沒有考慮任何混雜變數。 鑑於以上證據，任何混雜因素都不太可能對我們的結論產生重大影響-我們可以拒絕H0. 我們可以說“日誌天數和日誌比特幣價格之間沒有關係”。 如果真是這樣，那麼就會有一個共同的關係。
結論：鑑於違反了所有高斯馬爾科夫(Gauss Markov)假設的有效線性迴歸假設，並且沒有可檢測到的協整性，並且兩個變數都是非平穩的，因此有足夠的證據拒絕H0.因此沒有有效的線性迴歸。 對數價格和對數天數之間的線性關係，因此不能用來可靠地預測樣本估計價格。
