比特幣的醉漢價值

買賣虛擬貨幣

前言:S2F是用來對比特幣價值進行預測的模型。那麼,S2F是否是虛假的假設?本文則試圖對此進行證偽,最後它的結論是:“比特幣就像是醉漢,而Stock-to-Flow就是回家的路。”

本文將探討比特幣的價值是否存在stock-to-flow(S2F)的關係。對所提出的對數模型的統計有效性(最小二乘假設)、各變數的平穩性以及潛在的虛假關係都進行了檢驗。建立了一個向量誤差修正模型(VECM),並與stock-to-flow模型進行了比較。

儘管這些模型中,有些在Akaike資訊標準方面超過了原始模型,但它們都未能對stock-to-flow是比特幣價值的一個重要非虛假預測因素的假設進行否定。(藍狐筆記HQStock-to-Flow(S2F)比率模型是指可用資產或儲備資產的數量除以每年生產的數量,Stock-to-Flow比率是一個重要的指標,因為S2F中較高的指標值反映了資產每年通貨膨脹發生率的降低。)

注意

· 所有分析均使用Stata 14完成

· 不構成投資建議

簡介

科學方法對大多數人來說是難以理解的,畢竟這是反直覺的。它的最終結論可能不反映個人信仰。這個方法需要一個基礎來理解這個基本概念:存在錯誤是允許的。這應該是學校裡教的東西。如果我們害怕出錯,就永遠不會提出新的建議。

因此,科學發現的歷史,是由其“機緣巧合的本質”所決定的。人們偶然發現的事情,可能和他們最初打算做的事情一樣重要(或者甚至比它們更重要)。他們最初的想法也許是不正確的、或沒有定論的,但他們在探索的過程中發現的東西為後繼者建立了框架。

根據偉大的現代科學哲學家卡爾·波普爾(Karl Popper)的說法,檢驗一個假設是否存在錯誤的結果,是唯一可靠的方法,可以為論證它是正確的論點增加份量。

如果嚴格而重複的檢驗不能證明一個假設是錯誤的,那麼每次檢驗假設一個更高的可能性是正確的。這個概念叫做可證偽性。本文旨在對比特幣價值的stock-to-flow模型進行證偽,該模型是在“比特幣價值稀缺性模型( Modelling Bitcoin’s Value with Scarcity)”中被定義的。

對問題進行定義

要證偽一個假設,首先我們必須說明它是什麼:

零假設(H0):比特幣的價值是比特幣stock-to-flow的函式

備選假設(h2):比特幣的價值不是比特幣stock-to-flow的函式

S2F模型的作者透過在比特幣市值的自然對數和stock-to-flow的自然對數上擬合一個普通最小二乘(OLS)迴歸來檢驗H0。對於這兩個變數中的對數轉換,除了對數模型可以用冪律表示外,沒有其他的方法或任何已知的推理可以表示。

該模型沒有考慮由於非平穩性而產生虛假關係的可能。(藍狐筆記:Null hypothesis叫零假設,也叫原假設,是統計學用語,指的是進行統計檢驗時,預先構建的假設。假如零假設成立,相關的統計量會服從已知的概率分佈。如果統計量的計算值進入否定域,則否定零假設。Alternative hypothesis是備選假設,如果零假設沒有被接受或拒絕,備選假設會被採用。)

方法

在本文中,我們將使用正態迴歸探索該模型,並確定對數轉換是否必要、或是否適當(或兩者兼有),並探索可能的混淆變數、互動作用和敏感性。

另一個有待探討的問題是非平穩性。平穩性是大多數統計模型的假設。這是一個在任何時刻都沒有趨勢的概念,例如,對時間來說,平均值(或方差)是沒有趨勢的。

在進行平穩性分析之後,我們將探討協整的可能性。

符號說明

可用的數學符號是相對有限的。估計統計引數的常用符號是在頂部加一頂帽子。相反,我們將估計定義為[]。例如β的估計值=[β]。如果我們表示的是一個4x4矩陣,我們將用[r1C1,r1C2\r2C1,r2C2]表示等。下標項用@-eg表示,比如向量X中的第10個位置,我們通常用10下標X,即X@10。

普通最小二乘法

普通最小二乘迴歸,是一種估計兩個或多個變數之間線性關係的方法。

首先,定義一個線性模型,它是X的某個函式Y,但有一些誤差。

Y = βX+ε

其中Y是因變數,X是自變數,ε是誤差項,β是X的乘數。OLS的目標是估計β,並使ε最小化。

為了使[β]成為可靠的估計數,必須滿足一些基本假設:

1. 因變數和自變數之間存線上性關係

2. 誤差是同質的(也就是說,它們具有恆定的方差)

3. 誤差正態分佈,平均值為零

4. 誤差不存在自相關(即誤差與誤差滯後無關)

線性

我們首先看看市值與stock-to-flow之比的非轉換散點圖(資料來自[4])

圖1-市值與stock to flow之比。資料太稀疏,無法確定關係。

在圖1中,我們有了一個很好的理由來使用市場價值的對數——因為跨度太大了。取市場價值的對數(但不是SF)並重新繪製,可以得到一個我們非常熟悉的對數圖模式(圖2)。

圖2-市值對數與SF之比。一個清晰的對數模式出現了。

取stock-to-flow的對數並再次繪製,我們得到了圖3,存在明顯的線性模式。

圖3-出現了明顯的線性關係

這證明了“對數-對數”的這種轉換是唯一真正能顯示良好線性關係的方法。

另一種轉換是取兩者的平方根。這個模式如圖4所示。

圖4-平方根轉換

顯然,對數變換最適合滿足第一個假設的要求(即線性)。

因此,初步分析不能拒絕H0。

下圖5展示了對數擬合迴歸的結果,其中[β]=[3.4,3.7](95%置信區間)

圖5-對數迴歸結果

使用該模型,我們現在可以估計殘差[ε]和擬合值[Y],並檢驗其他假設。

同方差性

如果誤差項(即,同方差)中的恆定方差的假設是真的,那麼誤差項的預測值中的每一個值,都會隨機地在0左右移動。因此,使用RVF圖(圖6)是一種簡單有效的圖形方法,來確定這一假設的準確性。在圖6中,我們看到的是一個模式的一小點,而不是隨機散射,這表示誤差項的一個非恆定方差(即,異方差)。

圖6- RVF圖。這個圖的走勢表示可能存在問題。

這樣的異方差性,會導致係數[β]的估計值具有更大的方差,因此不太精確,並且導致p值比它們原本的更加顯著,因為OLS程式沒有檢測到增加的方差。因此,當我們計算t值和F值的時候,我們對方差進行低估,從而得到更高的顯著性。這也對 [β]的95%置信區間產生影響,β本身是方差的函式(透過標準差)。

在這個階段,繼續使用迴歸來理解這些問題的存在是合適的。我們可以用別的一些方法來處理這些問題-例如,自舉法、或方差的魯棒性估計值。

圖7-異方差的影響,魯棒性估計所示

如圖7所示,雖然方差小幅增加(擴大的置信區間),但在很大程度上,異方差並不會有那麼大的不利影響。

在這個階段,我們不能因為異方差而拒絕H0。

誤差的正態性

誤差項的正態分佈且平均值為零的假設,比線性或齊次性的假設更不重要。非偏態殘差的非正態性,會使置信區間過於樂觀。如果殘差有偏差,那麼你的結果可能會有一點偏差。然而,從圖8和圖9可以看出,殘差有足夠的正態性。平均值表面上為零,雖然正式測試可能會拒絕正態性的假設,但它們與正態曲線的擬合程度足以使置信區間不受影響。

圖8-覆蓋正態分佈(綠色)的誤差項直方圖。

圖9——誤差項的正態分位數圖。圓點離直線越近,正常擬合效果越好。

槓桿

槓桿是這樣一個概念:迴歸中並非所有資料點對係數的估計都有同等的貢獻。一些高槓杆率的點可能會顯著地改變係數,這取決於它們是否存在。在圖10中,我們可以很清楚地看到,從早期(2010年3月、4月和5月)開始,出現了一些令人擔憂的問題。這一點也不奇怪,S2F的作者在前面說過,收集早期的價值存在一些問題。

圖10-槓桿與殘差平方之比

如果我們在沒有這些點的情況下進行重新迴歸(假設它們有一些錯誤),並且由於我們知道存在異方差問題,那麼我們應該使用魯棒性估計值。

圖11-去除高槓杆的點,實質上是改變對[β]的估計,並改進了赤池資訊準則(AIC)。

在圖11中,我們可以看到,透過去掉這三個點後,[β]的估計值大不相同,赤池資訊準則(AIC)也大不相同,這表明儘管R²較低,但這是一個更好的模型。

OLS結論

基本診斷表明:原始OLS中存在一些小的可修復的問題。現階段我們不能拒絕H0。

平穩性

平穩過程被稱為0階積分(如I(0))。非平穩過程是I(1)或更多。在這種情況下,整合更像是“可憐”的——它是滯後差異的總和。I(1)意味著如果我們從序列中的每個值減去第一個滯後值,我們將有一個I(0)的過程。眾所周知,非平穩時間序列上的迴歸是可以識別出虛假關係的。

在下面的圖12和13中,我們可以看到我們不能拒絕ADF檢驗的零假設。ADF檢驗的零假設是指資料是非平穩的。也就是說,我們不能說資料是平穩的。

圖12和13——對ln(市值) 和ln(SF) 單位根的GLS ADF檢驗。

KPSS檢驗是ADF檢驗平穩性的補充檢驗。這個檢驗(KPSS)有一個零假設,即資料是平穩的。如圖14和15所示,我們可以拒絕兩個變數中大多數滯後的平穩性。

圖14和15-針對零平穩性的KPSS檢驗

這些檢驗證明了這兩個序列毫無疑問是非平穩的。但這有點問題,如果這個序列不是趨勢平穩的,那麼OLS可能會被誤導去發現一個虛假關係。我們可以做的一件事情是:取每個變數的對數月差,然後重新做OLS。然而,由於這一問題在計量經濟學中普遍存在,我們有一個更具有魯棒性的框架——即所謂的協整。

協整

協整是一種處理一對(或多對)I(1)過程、並確定是否存在關係、以及該關係是什麼的方法。為了理解協整,我們舉一個簡單例子——醉漢和他的狗。想象一個醉漢用皮帶牽著他的狗回家,醉漢毫無方向地走來走去。狗走路也是相當隨機:嗅樹,吠叫,追逐抓撓一隻小狗等等。

不過,狗的整體方向會在酒鬼的皮帶長度的範圍內。因此我們可以估計,在醉漢回家路上的任何一點上,狗都將在醉漢的皮帶長度內(當然可能在一邊或另一邊,但狗將在皮帶長度範圍內)。這種簡化類比的就是一個粗略的協整——狗和主人一起移動。

不同於相關性,假設一隻流浪狗,在回家路上95%的時間都跟著醉漢的狗在走,然後跑去追一輛車到了鎮子的另一邊。流浪狗和醉漢之間的路徑有著很強的關聯性(字面上是R²: 95%),不管醉漢曾經有過多少個在外面晃盪的夜晚,這種關係並不意味著什麼,也不能用來預測醉漢將會在哪裡,在過程中的某些部分,它是真的,而在另外一些部分,它是非常不準確的。

為了找到醉漢,首先,我們將看到我們的模型應該使用什麼樣的滯後順序(lag-order)規範。

圖16-滯後順序規範。用於確定AIC最小值。

我們在這裡確定了:最合適的滯後規範是2階AIC最小值。

接下來,我們需要確定是否存在協整關係,Johansen框架是很好的工具。

圖17-Johansens協整測試

圖17的結果,說明lnvalue和lnSF之間至少存在一個協整。

我們將VECM定義為:

Δy@t =αβ`y@t-1+Σ(Γ@iΔy@t-1)+v+δt+ε@t

圖18-關於整體模型方程的資訊

圖19-短期引數及其各種統計資料的估計

圖20-模型的協整方程

圖21:VECM的Akaike資訊標準

根據在上述的資料,我們可以估計:

· [α] = [-0.14, 0.03]

· [β]=[1, -4.31],

· [v] = [0.03, 0.2], and

· [Γ]=[0.196, -0.095 \ -0.318, -0.122].

總的來說,結果表明該模型非常適合。協整方程中的ln(SF)係數和調整引數都具有統計顯著性。調整參數列明,當協整方程的預測值為正數時,由於協整方程中的ln(value)係數為負,ln(value)低於其平衡值。係數[D lnvalue]L. ce1的估計值為-0.14。

因此,當比特幣的價值過低時,它很快就會上升回到lnSF 。係數[D lnSF]L. ce1估計值為0.028,意味著當比特幣價值過低時,它會向均衡方向調整。

圖22-協整方程隨時間的估計

在上圖中,我們可以看到協整方程是趨向於零的。雖然它在形式上可能不是靜止的,但它確實在接近平穩狀態。

來自STATA手冊:

具有K個內生變數和r個協整方程的VECM伴隨矩陣具有Kr單位特徵值。如果過程是穩定的,則剩餘r特徵值的係數嚴格小於1。由於特徵值的係數沒有總分佈,因此很難確定係數與另一個係數是否接近。

圖23-伴隨矩陣的根

特徵值圖顯示,剩餘特徵值都不接近單位圓。穩定性檢查並不能說明我們的模型是存在指定錯誤的。

圖24-脈衝響應函式

上圖表明,stock-to-flow價值的正交衝擊,對比特幣的價值具有永久性影響。

這就是我們的底線。Stock-to-flow不是一個隨機變數,它是一個隨時間變化的已知值的函式。stock-to-flow不會受到衝擊,即它的價值可以由提前計算得到精確值。然而,這個模型提供了非常有力的證據,證明了在stock-to-flow與比特幣價值之間存在著一種基本的非虛假關係。

侷限性

在這項研究中,我們沒有考慮任何混淆變數。鑑於上述證據,任何混淆都不太可能對我們的結論產生重大影響——我們不能拒絕H0。我們不能說“stock-to-flow與比特幣價值之間沒有關係”。如果是這樣的話,就不存在協整方程了。

結論

雖然本文提出的一些模型在Akaike資訊準則方面超過了原始模型,但所有這些模型都未能否定“stock-to-flow是比特幣價值的重要非虛假預測因素”的這個假設。

用一個比喻來說明這一點:如果我們把比特幣的價值看作一個醉漢,那麼stock-to-flow並不是他真正的跟班狗,而更像是他走的路。醉漢會在路上到處遊蕩,有時會停下來、滑倒、錯過一個拐彎處、甚至在路上抄近路等;但總的來說,他會沿著這條路的方向回家。

簡而言之,比特幣就像是醉漢,而Stock-to-Flow就是回家的路。

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